编者按：四年一届的国际数学家大会（International Congress of Mathematicians，ICM）是由国际数学定约（IMU）专揽的全球性数学学术会议。会议旨在促进高水平的学术沟通，在开幕式上将颁发“菲尔兹奖”等宇宙著明的数学大奖。会议手艺，将有宇宙各地从事国际数学前沿征询的著明数学家论说他们所在范畴的紧要科研效能。ICM论说东谈主身份是极高的学术荣誉，是一个数学家的责任取得国际学术界招供和关注的进军记号。2022年7月，第29届国际数学家大会将在俄罗斯圣彼得堡举行。今秋，2022年圣彼得堡国际数学家大会官网上公布了本届论说东谈主名单，5位北京大学数学学科教师：鄂维南、朱小华、章志飞、董彬、刘毅受邀成为论说东谈主，其中鄂维南院士将作一小时论说。另有8位北大学友将作45分钟论说快播成人动漫，他们永诀是：丁剑、李驰、刘钢、汪璐、王国祯、徐宙利、周鑫、朱歆文。

周鑫淳厚在办公室

       周鑫，2006年获清华大学理学学士学位，2008年在北京大学数学科学学院获理学硕士学位，2013年获斯坦福大学博士学位。曾在伯克利好意思国数学所进行博士后征询责任，曾任好意思国加州大学圣巴巴拉分校助理造就，现任康奈尔大学副造就。2019年获斯隆征询奖。

Morse表面与极小曲面的隐喻

       Q：最初恭喜周淳厚受邀在来岁的ICM上作念45分钟论说！可否简要先容您野心在来岁ICM上论说的责任？

       A：受邀在ICM上进行论说对我来说亦然一个惊喜（笑）。我想我受到邀请主若是因为我在超曲面变分表面上的责任。

       对三维流形中的曲面，巨匠一般会见谅它的面积，而平均曲率则与曲面的面积高度策划。我此前责任的干线即是构造一些具有预定平均曲率的曲面。如果预定的函数为0值函数，那么对应的曲面即是极小曲面，也即是咱们平素活命中常见的肥皂膜。当曲率为非零常值的情况，即是常平均曲率曲面。后头咱们也当然地推论上述问题，商量怎样构造以一般函数为预定平均曲率的曲面。从极小曲面、常平均曲率（CMC）曲面到预定平均曲率（PMC）曲面的一系列构造责任，想法都着手于Almgren发展的min-max表面。

       这个进程中我很未必地发现了这些构造可能会对重数1猜测的惩处产生匡助。一个早期的陈迹是，在非零值的常平均曲率曲面中，它们对应的微分方程的非皆次性导致特地的重数不可能出现。不外其时我如故不太信服这个问题不错统统惩处。直到其后在一次未必的尝试中，我发现，对典则度量（generic）情形，如果商量用特殊的相等值预定曲率(PMC)曲面靠近极小曲面，重数为1是有可能正确的。

图示：极小曲面的一个例子

       还有一些基于CMC曲面构造的后续责任，比如找到具有预定拓扑的CMC曲面，以及对于极小曲面在空间中散布的性质。我最主要呈报的如故CMC曲面的构造过火在重数1猜测中的应用。

       Q：可否具体先容一下重数1猜测呢？

       A：咱们不妨先商量低维的情况。如果咱们但愿在一个闭球面上找到一条闭测地线，最浅易的想法是能否找到一条长度处处最短的线。但因为球面莫得拓扑，在球面上放一个橡胶圈（rubber band）快播成人动漫，它不错很当然地收缩到小数。由此在二维球面上求闭测地线不是一个庸碌的问题，这个问题由Poincare建议，由Birkhoff在20世纪初给出了竣工的数学阐述：需要商量一族不错目田收缩的橡胶圈。从球面的小数（如北极）动身，灭绝整个球面，直到灭绝南突出。由于这一族橡胶圈不成收缩到小数，那么其中应该会有一条是局部最短的，也即是测地线。

图示：橡胶圈灭绝球面

       极小曲面的问题是上述问题在三维的当然推论：对一个三维球面，咱们如果要登第其上二维的面积最小的曲面，也会碰到一样的问题：曲面会缩到小数。肖似于上头的设施，咱们不错寻找一个灭绝三维球面的单参数的曲面族，让它从北极动身一齐灭绝到南突出。基本的想法是其中每一个曲面都要平缓我方的面积，但合座的曲面族无法缩到小数，这么就不错找到祈望的极小曲面。因为这个想法是先登第曲面族中最大的面积，再对通盘的极大值取下确界，是以这个设施被形象地称为min-max设施。基于这么的想法，好意思国数学家Almgren从上世纪60年代到80年代愚弄几何测度论的器具，短视频最终阐述了这么的构造不错匡助咱们得到三维球面上的弱道理下的极小曲面，而他的学生Pitts则进一步阐述了这种构造的正则性，即解是光滑的。2012年，Marques-Neves创举性地使用了Almgren-Pitts发展的min-max表面，阐述了Willmore猜测，进而促进了min-max表面的连忙发展。Almgren-Pitts表面当然不错对k-参数曲面族作念min-max构造（见下文），但精通到几何测度论构造出来的解，历久是带有整数总计（重数）的光滑曲面，这就意味着咱们在k-参数曲面族中构造的极小曲面，可能只是是单参数(概况小于k-参数)曲面族构造的极小曲面乘以一个整数（将极小曲面视为方程组的解），因而不会得到新的极小曲面。可是如果咱们不错阐述k参数曲面族构造的解都是重数1，那么咱们就不错证实这些新构造的解本体上都是全新的，而不是既有表面的解的整数倍。由此Marques-Neves建议了重数1猜测，以为这些k参数族构造的极小曲面在generic情形都是重数1的。

图示：极小极大点

        Q：怎样意志到CMC曲面的构造会对重数1猜测的惩处产生匡助？

        A：这个发现怀念常未必的。之前我在见谅一个比重数1猜测弱小数的问题：加权Morse方针的揣度问题。在Morse表面中，咱们总不错将函数在满盈好的坐标下整理成一个二次型，该二次型的特征值的正负在变分问题中会对应于函数值增大/减小的方针，独一在负特征值对应的方进取，流才不错向极小值畅通。是以负特征值的个数被称为Morse方针，它是许多半学分支见谅的对象。一个极小曲濒临应的二次型是无尽维希尔伯特空间中的二次型。行为下方有界上方无界的二次型，它独一有限多个负特征值，这些负特征值描绘的怀念富厚的方针。在早期巨匠会见谅方针为0的情形，完成了许多进军责任，如正质料猜测的阐述。当然巨匠会商量有限方针的情形。

       我征询的极小极大（min-max）表面即是一种Morse表面。Morse表面的基本论断告诉咱们，Morse方针会对应于同调群的维数。这种临界点和拓扑性质之间的“隐喻”（metaphor）在极小曲面的征询中也有类比。Marques-Neves就给出了如下的收尾：由极小极大表面构造的极小曲面如果重数为1，则对k-参数超曲面族，构造出的极小超曲面是具有方针k的。我其时间望作念的是能否将极小曲面的重数行为一个总计乘在上头，这是比重数1猜测弱许多的论断。我花了许多时辰商量这个问题，但最终很侥幸地发现这个问题匡助我得到了重数1猜测的阐述。

周鑫淳厚在办公室

       Q：可否先容极小极大表面是怎样产生的？重数1猜测在其中为何进军？

       A：极小极大表面有两方面的动机，一方面是之前提到的Poincare-Birkhoff问题在三维的当然推论，另一方面也祈望在职意的闭流形中构造极小子流形。从上世纪50年代末运行，Almgren创造性地聚首了测地线表面和代数拓扑的想法，阐述了闭流形中通盘m-维闭子流形空间具有细腻的拓扑结构。从该结构动身，咱们不错祈望得到临界点的信息。之后经过两代东谈主的用功，直到八十年代，数学家终于得到了三维闭流形中一定存在（一个）闭极小曲面的阐述。而后该表面因为太繁复而不再热点。2012年，Marques-Neves对Willmore猜测的阐述使得Almgren-Pitts表面再行振奋生机。他们还在2013年建筑了Gromov在1988年建议k-参数超曲面族和Almgren-Pitts表面的策划，从而为极小超曲面在几何中的进军应用提供了表面框架。对应于非庸碌的k-参数超曲面族，咱们不错界说被称为面积谱的min-max临界值。Almgren-Pitts表面告诉咱们这些临界值都由极小超曲面的面积竣事。

       极小极大表面方针是，从很弱的拓扑动身建筑完善的Morse表面，求出临界点（也即是极小曲面）的信息。咱们不错商量拓扑的分层举止。第一层的拓扑和极小曲面的关系在80年代就为数学家熟知，但更高层拓扑求得的极小曲面解可能只是是第一层的解的重数倍，因为这咱们并莫得得到本体上全新的解。Marques-Neves在2013年阐述了在一定几何条目下三维闭流形上有无尽多极小曲面，但是这些无尽多的极小曲面是否有咱们所祈望的“第k层拓扑的Morse方针一定是k”性质，咱们哪怕在五年前亦然一无所知。最进军的重视在于这些解的重数可能大于1，那么它会退化到第一层的解，而如果每个解的重数都是1，那咱们就不错信服这些解如实是本体不同的解。基于重数1猜测和Marques-Neves的责任，咱们当今在典则的情形下不仅不错惩处历久未决的著明猜测，更不错进一格局对这无尽多个极小曲面按它们的Morse方针进行分层。

更主动地学习沟通

       Q：在本科和征询生的学习中，您是怎样从物理配景转向数学，并在后头北大硕士征询生手艺选拔了极小极大表面行为我方的征询方针？

       A：我本科是在清华数理基科班学习。其时莫得迥殊明确的方针，只是基科班比较相宜我但愿从事科学表面征询的想法，就尝试着报名，也比较侥幸地被考中。在后头物理和数学课程的学习中，我意志到我方如故比较倾向于数学愈加严谨的念念维方式，于是选拔了数学方针，并在来到北大时选拔跟从田刚淳厚，崇拜成为数学专科的征询生。其时选拔微分几何是但愿能征询相对具体可感的数学对象。

       参加极小极大表面则是出于未必。在北大学习手艺，田淳厚如故有一个问题与庞加莱猜测的阐述以及极小极大表面策划，他建议我学习极小极大表面的策划内容。其时我作念了小数推论，但并莫得沿着这个方针不息。其后在博士手艺我转向作念了一些和广义相对论策划的内容，也莫得找到迥殊诱骗我的问题。其后在和博士导师Richard M. Schoen的沟通中，他以为极小极大表面中Pitts的责任还有不错完善的场所，尤其是Morse方针的认识相等不解晰，但愿我更好地剖析这个事情，这成为了我回到极小极大表面征询的一个动机。另一个动机是在我博士高年齿的时候，由于Marques-Neves阐述了Willmore猜测，极小极大表面也再次引起了数学界的怜爱。

周鑫淳厚2021年夏天在康奈尔大学近邻的Ithaca Fall留影

        Q：您在中好意思两国的顶尖高校都有较永劫辰的学习科研履历，在您的不雅察中，中好意思高校的学生有哪些特质值得相互学习鉴戒？

        A：我在国内的学习时辰比较久，也有许多很令东谈主怀念的学习体验。比如国内的同学都很心思，巨匠都在用功地学习数学，不错相互沟通，相互促进；而在国际因为招生限制的遣散，不错沟通的同龄东谈主会少许多，相对会感到零丁孤身一人一些。另一方面国内的征询生比拟好意思国征询生，助教等任务会更芜俚一些，不错更纯正地将元气心灵用在学习和征询上。

       而在好意思国的顶尖高校，我不雅察发现，最优秀的学生对学术资源的愚弄智商很值得咱们学习。好意思国顶尖高校如实有相等丰富的学术资源：有最优秀的数学家，最前沿的问题等等。那些熟悉的学生不错通过和最活跃的数学家的沟通快速地学到一些新常识和新想法。虽然当今国内在各个方针都有最前沿的数学学者，是以但愿国内的学生也能更主动地和淳厚们沟通。

       Q：您对年青学生有哪些建议？

       A：就像刚才所说的，不论在国内如故好意思国，如故要尽量和知名学者多沟通，了解到最前沿的课题在那儿。而一朝选拔了某个方针，就要把这个方针的中枢文件统统地读懂。在碰到重视时不错和身边的同龄东谈主相互匡助，通盘学习，在相互的沟通中更好地评估和磨练我方是否确实剖析。一个很典型的体验是：学习某个文件，即使把全文都背下来，也不虞味着你信得过地掌合手了文件中的设施。是以好的设施是我方先读懂，然后主动地和同龄东谈主沟通，讲给他们听，在响应中了解我方富厚的深度。

北京国际数学征询中心办公院落外景快播成人动漫